Силлогистика Аристотеля-Жергонна
ЛЕКЦИЯ 9
СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ-ЖЕРГОННА
Аристотелева силлогистика[1],традиционно излагаемая в учеб-
никах[8,16],давно уже не устраивает логиков[2-6].Особенно возрос поток
публикаций по силлогистике в последнее время[5,8,18].Все это свиде-
тельствует о том,что проблемы анализа и синтеза силлогизмов далеки от
разрешения.Кстати,впервые правильность модусов Аристотеля опроверг
Лейбниц(1646-1716),но авторитет основателя логики был настолько ве-
лик,что Лейбниц посчитал свои выводы ошибочными.
В прекрасной монографии Стяжкина Н.И.[19] приведены так называе-
мые "жергонновы отношения".С помощью этих отношений Ж.Д.Жер-
гонн(1771-1859) представил все классы суждений(силлогистические функ-
торы),выделенные Аристотелем,на языке теории множеств.Переведем "жер-
гонновы отношения" на язык скалярных диаграмм.
x x' x x'
L=========+---------- L=========+----------
y y' y' y
L============+------- L------------+======-
y y'
L=========+----------
Axy. Exy.
x' x x' x
L---------+=========- L---------+=========-
y y' y y'
a)L============+------- a)L============+-------
y' y y' y' y y'
b)L----+========+------ b)L----+========+------
y' y y y'
c)L------+============- c)L======+-------------
y' y y' y
d)L-------------+=====- d)L-------------+=====-
y' y
e)L---------+=========-
Ixy. Oxy.
Скалярные диаграммы обладают хорошей наглядностью и позволяют,как
мы увидим в дальнейшем,даже школьнику легко находить графическое реше-
ние силлогизмов.Скаляры в данной ситуации отображают множества и могут
быть описаны на языке алгебры множеств[9].Скалярным диаграммам,предс-
тавленным на рис.1-4 соответствуют таблицы истинности(табл.1-4).
Табл.1 Табл.2 Табл.3 Табл.4
-----T---¬ -----T---¬ -----T---¬ -----T---¬
¦ xy ¦Axy¦ ¦ xy ¦Exy¦ ¦ xy ¦Ixy¦ ¦ xy ¦Oxy¦
+----+---+ +----+---+ +----+---+ +----+---+
¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦
¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦
¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦
L----+---- L----+---- L----+---- L----+----
Из таблиц истинности(табл.1-4) получаем следующие соотноше-
ния:
"Все X суть Y" : Axy = xy+x'y'+ix'y (1)
"Ни один X не есть Y" : Exy = x'+y'= (xy)' (2)
"Некоторые X суть Y" : Ixy = xy+i(xy)' (3)
"Некоторые X не суть Y": Oxy = xy'+i(xy')' (4)
Кстати из (3) и (4) видно,что Oxy = Ixy',что вовсе не соответс-
твует математическому смыслу функтора Oxy.
В связи с тем,что при проверке силлогизмов потребуются отри-
цания функций (1-4),то на основе формулы де Моргана выведем фор-
мулы (5-8):
(Axy)' = xy'+jx'y (5)
(Exy)' = xy (6)
(Ixy)' = j(xy)' (7)
(Oxy)' = j(xy')' (8)
Такой же результат может быть получен табличным методом,для чего
необходимо проинвертировать значения соответствующих силлогистических
функторов в табл.1-4.Для того,чтобы проверить силлогизм,можно выпол-
нить алгоритмы "Осташ-Т" и "ТВАТ".
Проведем выборочную проверку силлогистики Аристотеля.
Фигура 1.
1.1. AmxAym -> f(x,y) = mx'+jm'x+m'y+jmy'+f(x,y) = 1
-----T------¬ xy
m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T---¬
x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦
y1 L======+------------- ¦ 01 ¦ 0 ¦ +---+---+---+---+
y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+----
L----+-------
Скалярные диаграммы и алгоритм "Осташ-С" дали одинаковый ре-
зультат:f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Ayx.
1.2. AmxEym -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬ xy
m L======+------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x1 L==============+----- +----+------+ m \---T---T---T---¬
x2 L======+------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦
y1 L---------------+===- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
y2 L-------+===========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦
y3 L-------+=====+------ ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy' = Oxy.
У Аристотеля этот модус считается "неправильным".
1.6. EmxEym -> f(x,y) = mx+my+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬ xy
m L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y1 L----------+==+------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
y2 L=============+------ ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
y3 L======+------------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3).
Это тоже "неправильный" по Аристотелю модус.Очередная ошибка ве-
ликого логика.
1.7. EmxIym -> f(x,y) = mx+jm'y'+f(x,y) = 1(i)
m L=========+---------- -----T------¬ xy
x L--------------+====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
y1 L-----+======+------- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y2 L----+==============- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
y3 L====+--------------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+
y4 L----+===========+--- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦
y5 L==================+- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
У Аристотеля получено заключение Оху.
Фигура 2.
2.1. AxmAym -> f(x,y) = m'x+jmx'+m'y+jmy'+f(x,y) = 1(i)
m L=========+---------- -----T------¬ xy
x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y1 L=======+------------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦
y2 L===+---------------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
y3 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
y4 L----+====+---------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = x'y'+i(x'y')' = Ix'y'.
Этот "неправильный" по Аристотелю модус также оказался правильным.
2.7. ExmIym -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬ xy
m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y1 L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
y2 L===========+-------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+
y3 L-----+=============- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦
y4 L===+---------------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
У Аристотеля этот модус имеет вид EIO.
Фигура 3.
3.2. AmxEmy -> f(x,y) = mx'+jm'x+my+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬ xy
m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x1 L============+------- +----+------+ m \---T---T---T---¬
x2 L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ ¦ j ¦ j ¦
y1 L--------------+====- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
y2 L----------+========- ¦ 10 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦
y3 L---------+=+-------- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = xy'+i(xy')' = Ixy'.
У Аристотеля этот модус - "неправильный".
3.5. EmxAmy -> f(x,y) = mx+my'+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬
m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ xy
x L------------+======- +----+------+ \ 00 01 11 10
y1L=========+---------- ¦ 00 ¦ i ¦ m \---T---T---T---¬
y2L==============+----- ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦
y3L=========+--+======- ¦ 10 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
¦ 11 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦
L----+------- L---+---+---+----
f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y.
"Правильный" модус - EAO.
3.13.OmxAmy -> f(x,y) = j(mx')'+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)
m L=========+---------- -----T------¬ xy
x1 L-------------+=====- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x2 L----+==============- +----+------+ m \---T---T---T---¬
x3 L=====+-------------- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦
y1 L=============+------ ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+
y2 L=========+---------- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦
y3 L=========+---+=====- ¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = Ix'y.
"Правильный" модус - OAO.Очередная ошибка классической логики.
Фигура 4.
4.1. AxmAmy -> f(x,y) = m'x+jmx'+my'+f(x,y) = 1
m L=========+---------- -----T------¬ xy
x1 L====+--------------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x2 L=========+---------- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y1 L============+------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ 1 ¦ 1 ¦
y2 L=========+---------- ¦ 01 ¦ i ¦ +---+---+---+---+
¦ 10 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = x'y'+xy+ix'y = Axy.
Грубейшая ошибка классической логики,которая настаивает на модусе
AAI.
4.5. ExmAmy -> f(x,y) = mx+my'+jm'y+f(x,y) = 1(i)
-----T------¬ xy
m L=========+---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦ \ 00 01 11 10
x L--------------+====- +----+------+ m \---T---T---T---¬
y1L================+--- ¦ 00 ¦ i ¦ 0 ¦ ¦ j ¦ j ¦ ¦
y2L=========+---------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ +---+---+---+---+
y3L=========+---+=====- ¦ 10 ¦ i ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ i ¦ L---+---+---+----
L----+-------
f(x,y) = Ix'y.
"Правильный" модус EAO - очередная ошибка классической логики.
В результате получим следующие правильные модусы:
1-я фигура: AAA,AEO,AII,AOI,EAE,EEI,EII,EOI,IEO,OEI.
2-я фигура: AAI,AEE,AII,AOI,EAE,EEI,EII,IEO,OAO.
3-я фигура: AAI,AEI,AII,AOO,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEO,OAI,OEI.
4-я фигура: AAA,AEE,EAI,EEI,EII,EOI,IAI,IEI.
Полученные результаты очевидны,однако в большей своей части дан-
ные модусы не совпадают с традиционными "правильными" силлогизмами[8].
Пример.
В замечательной книге известного автора и политического легендар-
ного деятеля России начала 20-го века В.В.Шульгина "Что нам в них не
нравится"(М.:"Хорс",1992) на стр.210 есть интересный пример применения
классической силлогистики для решения спорного вопроса.
"...Карл Маркс плох,говорю я, - большая посылка. Карл Маркс - ев-
рей, - малая посылка. Вывод:еврей - плох,не годится в качестве руково-
дителя."
Прав ли автор? Здравый смысл не согласен с таким выводом. Прове-
рим формально по алгоритму ИЭИ силлогизм В.В.Шульгина.
Карл Маркс - m
плохой - x
еврей - y
M = AmxAmy = (m'+x)(m'+y) = m'+xy
f(x,y) = xy+i = Ixy(3)
Таким образом,мы получили следующее заключение (в Аристотелевом
базисе):"Некоторые евреи - плохие люди". Такой вывод справедлив для
любой нации,хотя с позиции здравого смысла здесь нельзя сделать ника-
кого заключения. Следовательно, В.В.Шульгин ошибся в силлогистике.
Соотношения (1) - (4) описывают аристотелевскую логику,которая не
соответствует требованиям,предъявленным русским ученым Васильевым
Н.А.[6] к частным суждениям с научной точки зрения и с позиции логики
здравого смысла.Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет инте-
рес с чисто научно-исторической точки зрения.
Некоторые дополнительные аспекты проблем современной силло-
гистики изложены в [13].
Домашнее задание.
1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе базиса
Аристотеля-Жергонна.
2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.