Анализ и синтез силлогизмов. Русская силлогистика
ЛЕКЦИЯ 8
--------
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИЛЛОГИЗМОВ.
РУССКАЯ СИЛЛОГИСТИКА
Под анализом силлогизма понимается проверка корректности заданно-
го силлогизма.Синтезом силлогизма будем называть отыскание заключения
по заданным посылкам или недостающей посылки по заданным посылке и
заключению.
Данным проблемам посвящено много публикаций.Необходимо прежде
всего отметить великолепную книгу Светлова В.А."Практическая логи-
ка"[18],в которой российский автор просто и изящно решает сложные
проблемы силлогистики.Я бы назвал эту книгу "мечтой студента".Глубока
и содержательна книга Кулика Б.А."Логические основы здравого смыс-
ла"[9],в которой российский автор впервые в мире не только заговорил о
логике здравого смысла,но и приступил к ее построению.Все эти работы
косвенно подтверждают,что в здравый смысл силлогистики Аристотеля ник-
то не верит.Итак,приоритет России в создании логики здравого смысла
бесспорен.
Что такое здравый смысл? "Философский словарь"(Харьков,1986 г.)
определяет этот термин следующим образом."Здравый смысл - принцип
оценки и систематизации фактов повседневного опыта,обеспечивающий че-
ловеку успешную ориентацию в повседневных житейских ситуациях".В этом
же словаре 1980 г. читаем:"Здравый смысл - совокупность взглядов,навы-
ков,форм мышления,используемых рядовым человеком в его повседневной
практической деятельности".Исходя из этих определений только русскую
и общеразговорную силлогистики можно отнести к логике здравого смыс-
ла.Кроме того,только в логике здравого смысла из разумной посылки Ixy
следует осмысленное заключение Iyx.
Прежде чем приступить к анализу или синтезу силлогизма,необходимо
проверить корректность формулировки посылок.Нередко частноутвердитель-
ное суждение механически употребляется вместо общеутвердительного.Если
для суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использо-
вать любой базис здравого смысла(русский,общеразговорный),то придем в
силу симметрии этих базисов к абсурдному заключению "Некоторые млеко-
питающие - животные"(а остальные млекопитающие - не животные?!).С точ-
ки зрения здравого смысла исходное суждение должно иметь вид "Все мле-
копитающие - животные".Ошибками такого рода особенно грешат профессора
Оксфорда и Кембриджа[11,с.170-174],написавшие,тем не менее,прекрасную
книгу по философии.
Пример(с.170).
Некоторые животные(m) - олени(x)
Некоторые животные - плотоядны(у)
__________________________________
Первая посылка силлогизма безграмотна.Она должна выглядеть ина-
че:"Все олени - животные".Если универсумом в этом силлогизме является
понятие "животные",то и вторая посылка не блещет профессионализ-
мом.Правильная посылка - "Все плотоядные - животные".
Задача 2(с.174).
Все люди(m) - горды(х)
Нек.солдаты(у) - люди (а нек.солдаты - не люди?)
________________________________________________
Опять вопиющая ошибка западных "профессионалов".Здесь также не-
корректны обе посылки.Правильные посылки выглядят так:
Все гордые - люди(гордость присуща только человеку)
Все солдаты - люди.
Во избежание подобного рода ошибок в силлогистике здравого смысла
предлагается простой алгоритм проверки:Ixy -> Iyx.
Очень характерна ошибка механического перевода высказываний на
язык силлогистики без учета универсума.Часто встречается такой пример:
Сахар - сладкий
Все дети любят сладкое
--------------------
Все дети любят сахар
Заключение согласуется со здравым смыслом,но оно не следует из
этих посылок.Дело в том,что универсумом в данном силлогизме является
понятие "лакомства",поэтому силлогизм выглядит иначе:
Сахар - сладкое лакомство
Все сладкие лакомства - любимые детьми лакомства
--------------------------------------
Сахар - любимое детьми лакомство,т.е. все виды сахара любят дети.
Как видим,и посылки,и заключение в приведенных силлогизмах раз-
личны,хотя общеразговорный смысл кажется одинаковым.Если же в качестве
второй посылки использовать суждение "Все любимые детьми лакомства -
сладкие",то заключение будет совершенно иным (Ix'y'),т.е. "Некоторые
взрослые любят отнюдь не сладкое".
Анализ и синтез силлогизмов можно проводить с помощью алгоритмов
"Осташ".Так именуют себя жители г.Осташкова,земляки Л.Ф.Магницкого,ос-
нователя Российской математики.
Алгоритм "Осташ-Т"(тест).
1.Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с ана-
литическим описанием функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок,имплицирующей
заключение.
3.Проверить это выражение на тождественность единице,занеся его в
карту Карно(КК).Если выполняется тождественность единице,то
заключение истинно.Если хотя бы одна из посылок или заключение
являются частным суждением,то силлогизм является истинным даже
при получении модальной единицы(т.е.в некоторых клетках КК
проставлены символы модальности i) при условии,что m=1 или
m'=1(в этом случае строка m или соответственно m' должна содер-
жать не менее 3-х целых единиц и только одну состав-
ную,т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места.
Для синтеза заключения по заданным посылкам нужно выполнить алго-
ритм "Осташ-С".
Алгоритм "Осташ-С"(синтез).
1.Заменить посылки выражениями в соответствии с аналитическим
описанием функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинверти-
ровать его.Занести полученное выражение в карту Карно(КК).
3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для функто-
ров A,E,I,O таким образом,чтобы получить тождественую или мо-
дальную единицу(т.е.в некоторых клетках КК будут проставлены
символы модальности i).При доопределении иметь в виду,что из
частной посылки должно следовать частное заключение.Перед дооп-
ределением в одной строке КК(m или m') должно быть не менее
2-х,а после доопределения не менее 3-х целых единиц.Доопределя-
емое заключение должно содержать минимально необходимое коли-
чество единиц.Функция доопределения является искомым заключени-
ем.
4.Если вышеуказанное доопределение невозможно,то из данных посы-
лок нельзя вывести никакого заключения.
Аналитический синтез силлогизмов можно также проводить с помощью
алгоритма,который носит название "ИЭИ"(Ивановский энергетический инс-
титут).
Алгоритм "ИЭИ"(синтез заключения).
1.Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для
функторов A,E,I,O.Если обе посылки частно-утвердительные,то заключения
не существует.
2.Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк-
ции всех посылок.Провести обязательную минимизацию.
3.Получить из М заключение силлогизма f(x,y),заменив средний тер-
мин m или m' на 1.Если средний термин входит в М автономно,то заменить
его на i.
Аналитические методы на основе алгоритмов "Осташ" и "ИЭИ" прек-
расно дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм.Этот
алгоритм носит имя "ТВАТ" в честь Тушинского вечернего авиационного
техникума,студентам которого в 1997г. автор впервые изложил данный ме-
тод.Алгоритм прост,нагляден,доступен пониманию школьников.
Алгоритм "ТВАТ"(графический синтез силлогизмов)
1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с по-
мощью скалярных диаграмм.С этой целью вначале выбрать посылку,выражен-
ную общим суждением,и представить ее на скалярной диаграмме.Затем
изобразить скалярные диаграммы второй посылки.При этом нужно реализо-
вать все возможные для данной посылки ситуации из набора Axy,Exy,Ixy в
рамках ограничений,заданных этой посылкой,относительно среднего терми-
на.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных
наборов xy:00,01,10,11.Для облегчения задачи предварительно разбить
скалярные диаграммы вертикалью на две части:х = 0 и х = 1.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функ-
тора в соответствии с известным базисом.
Кроме того,для преодоления психологического барьера и привыкания
к скалярным диаграммам рекомендуется на начальном этапе освоения алго-
ритма "ТВАТ" использовать круги Эйлера для изображения всех возможных
ситуаций,а затем переводить их на скалярный язык.
Простота графического алгоритма "ТВАТ" наводит на мысль о том,что
и скалярные диаграммы,и алгоритм "ТВАТ" могли быть открыты 23 века на-
зад Аристотелем.Во всяком случае,скаляры были известны Евклиду,совре-
меннику Аристотеля.Алгоритмы "Осташ" и "ТВАТ" дают одинаковые по пол-
ноте и корректности результаты.Алгоритм "ИЭИ" для некоторых частных
силлогизмов позволяет получить корректные,но неполные заключения.Эта
неполнота с лихвой окупается простотой и прозрачностью алгоритма.
В дальнейшем все примеры будут построены на русском базисе,пос-
кольку темой лекции является русская силлогистика.Русский базис имеет
следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y = (xy')'
Exy = x'+y' = (xy)'
Ixy = x+y+ix'y'
Oxy = jx'y'.
Для анализа и синтеза силлогизмов по алгоритму "Осташ" потребуют-
ся отрицания функторов A,E,I,O:
(Axy)' = xy'
(Exy)' = xy
(Ixy)' = jx'y'
(Oxy)' = x+y+ix'y'
Пример 1.
Пусть задан силлогизм и требуется проверить его корректность.
Все люди(m) - талантливы(х)
Все студенты(у) - люди
--------------------------
Все студенты(у) - талантливы(х)
Все m суть x (Amx)
Все y суть m (Aym)
____________
Все y суть x (Ayx)
Решение
1.В соответствии с п.1 алгоритма "Осташ" получим
(mx')'
(ym')'
_____
(yx')'
2.По п.2 алгоритма имеем
(mx')'(ym')' -> (yx')'
3.Проверка по п.3
(mx')'(ym')' -> (yx')' = mx'+ym'+y'+x = 1,
т.е. заключение силлогизма истинно.
Проверка по алгоритму "ИЭИ" выглядит так:
M = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx
f(x,y) = y'+x = Ayx
Проверим результат с помощью скалярных диаграмм(алгоритм "ТВАТ").
m m' -----T------¬
===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
x x' +----+------+
==============------- ¦ 00 ¦ 1 ¦
y y' ¦ 01 ¦ 0 ¦
=======-------------- ¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+-------
Из скалярной диаграммы видно,что "Все Y суть X"(Ayx),а также
Eyx'.Все эти суждения имеют одинаковую аналитическую форму:(yx')'.Все
три алгоритма дали один и тот же результат.
Пример 2.
Все члены коллегии адвокатов (x) - юристы (m)
Все сотрудники нашего отдела (y) - юристы (m)
____________________________________________________
Найти y = f(x)
Решение
По традиционным представлениям [8] задача не имеет решения.Интуи-
тивно можно согласиться с традицией.
Проверим свою интуицию чисто формально по алгоритму "Осташ-С".
1.(m'x)'
(ym')'
__________
f(x,y) = ?
2.(m'x)'(ym')'->f(x,y)=m'x+ym'+f(x,y) = 1(i)
xy -----T------¬
\ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
m \---T---T---T---¬ m ================----- +----+------+
0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ y1 -----------====------ ¦ 00 ¦ 1 ¦
+---+---+---+---+ y2 -----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ y3 ========------------- ¦ 10 ¦ i ¦
L---+---+---+---- y4 =============-------- ¦ 11 ¦ i ¦
L----+-------
После доопределения КК в соответствии с п.3 алгоритма "Осташ-С"
получим заключение(индекс в скобках указывает номер базиса):
f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)
Это соответствует в 3-м(Аристотелевском) базисе следующему заклю-
чению:"Некоторые x' суть y'".Такое же заключение можно вывести и при
внимательном рассмотрении скалярных диаграмм(также для 3-го бази-
са).Однако,лучше всего с этой целью воспользоваться алгоритмом
"ТВАТ",т.е.перенести содержимое скалярных диаграмм в таблицу истиннос-
ти и синтезировать f(x,y).Для второго базиса полученное заключение
x'y'+i не имеет соответствующего представления,т.е. для заданных посы-
лок заключения в виде категорического суждения не существует .Для про-
верки соритов,число посылок в которых может достигать 6 и более,реко-
мендуется применять методы минимизации,изложенные в [11,12].Проверим
полученное заключение по алгоритму "ИЭИ".
M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = m+x'y'
f(x,y) = x'y'+i = Ix'y',т.е. алгоритм "ИЭИ" подтвердил результаты
синтеза.
Пример 3.
В книге К.И.Бахтиярова "Логические основы компьютеризации заклю-
чений" - М.:1986(стр.42) приведен тест преподавателей логики Ф.Джон-
сон-Лэрда и М.Стидмена,с которым справились лишь 60% испытуемых:
Ни один химик(x) не есть пчеловод(m).
Некоторые пчеловоды(m) есть художники(y).
__________________________________
Некоторые художники(y) - не химики(x)
Решение.
Протестируем самих преподавателей.
1.Exm = (mx)'
Imy = my + i(my)'(3)
__________________
f(x,y) = ?
Здесь вторая посылка представлена в 3-м базисе.
2.(mx)'(my+i(my)') -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)
xy -----T------¬
\ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
m \---T---T---T---¬ m ---------------====== +----+------+
0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y1 -----------=======--- ¦ 00 ¦ i ¦
+---+---+---+---+ y2 -----================ ¦ 01 ¦ 1 ¦
1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y3 ==================--- ¦ 10 ¦ i ¦
\L---+---+---+---- y4 -----------------==== ¦ 11 ¦ i ¦
L----+-------
После доопределения получаем в 3-м базисе:
f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y(3),
т.е."Некоторые не-химики суть художники".Скалярные диаграммы и
алгоритм "ТВАТ" также подтверждают этот результат.
По алгоритму "ИЭИ":
M = EmxImy = (m'+x')(my+i(m'+y')) = mx'y+im'
f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3).
Все три алгоритма дали одинаковые результаты. Эти результаты слу-
чайно совпали с тестовым заключением. Если бы мы вторую посылку предс-
тавили в базисе Васильева,что соответствует здравому смыслу,то получи-
ли бы иной результат,недоступный пониманию авторов теста:
M = ExmImy(8) = (x'+m') & 1 = x'+m'
f(x,y) = x'+i = Ix'y(5),т.е. заключение получено в 5-м базисе,о
котором тестирующие не имеют ни малейшего представления.
Пример 4.
Проверить силлогизм.
Все математики(m) - умные(y)
Некоторые математики(m) - хитрые(x)
____________________________________________________
f(x,y) = IxyIx'y.
M = AmyImx = (m'+y)(m+x+im'x') = m'x+my+xy+im'x'
f(x,y) = x+y+ix' = Ixy
По алгоритму "ТВАТ" получим более сильное заключение:
f(x,y) = y+iy' = IxyIx'y.
Пример 5.
У Кэрролла [10,стр.27] приведен "неправильный" силлогизм:
Все солдаты(х) храбрые(m)
Некоторые англичане(y) храбрые(m)
----------------------------------
Некоторые англичане - солдаты
Автор силлогизма утверждает,что любое заключение будет лож-
ным.Проверим утверждение Кэрролла для русского базиса.
M = AxmIym = (x'+m)(y+m+im'y') = m+x'y+im'x'y'
f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3),
т.е. "Некоторые не-солдаты - англичане".
Алгоритм "ТВАТ" подтверждает этот результат.В Аристотелевском ба-
зисе полчаем Ixy(3).
На основе рассмотренных методов может быть предложен обобщенный
алгоритм "Суздаль" решения задач по силлогистике.
Алгоритм "Суздаль".
1.Привести все посылки к общему "знаменателю"(универсуму).
2.Выполнить алгоритм "ИЭИ" для получения оценочного заключения.
3.Изобразить все посылки с помощью кругов Эйлера,а затем перевес-
ти их на язык скалярных диаграмм.Иметь в виду,что круги Эйлера
отображают не все возможные ситуации,в связи с чем возможно до-
определение скалярных диаграмм.
4.Выполнить алгоритм "ТВАТ".Заключение должно быть не менее силь-
ным,чем полученое в п.2.
Пункт 3 алгоритма "Суздаль" может быть опущен после надлежащего
освоения скалярных диаграмм.Недостатки кругов Эйлера особенно ярко
проявляются при синтезе силлогизмов в базисе Аристотеля-Жергонна,пос-
кольку приходится описывать слишком большое число ситуаций.
В традиционной логике различают четыре разновидности простого ка-
тегорического силлогизма,которые называют фигурами.Три первых фигуры
были предложены Аристотелем,а 4-ю фигуру впервые использовали схолас-
ты.
m ----- x x ------¬m m------- x x ----- m
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
y ----- m y -------m mL------ y m ----- y
1-я 2-я 3-я 4-я фигура
Для каждой фигуры существуют 64 модуса.Модусы - это разновидности
силлогизмов,определяемые формой и взаимозависимостью их посылок и зак-
лючений.В традиционной силлогистике рассматривют обычно лишь 64 моду-
са,т.е. по 16 модусов для каждой фигуры.
Используя приведенные методы, проверим все 64 модуса для 4-х
фигур категорического силлогизма[8].В результате получим следую-
щие правильные модусы русской силлогистики:
1-я фигура:
AAA,AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOxy[7],OAOxy[2],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
2-я фигура:
AAIx'y'[3],AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOx'y[2],OAOxy[2],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
3-я фигура:
AAIxy[3],AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],
EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],
OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2].
4-я фигура:
AAA,AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
Все они не противоречат здравому смыслу.Однако большей
частью не совпадают с традиционными "правильными" силлогизма-
ми[8].Это и естественно:традиционная логика построена на нес-
колько иных базовых суждениях.
Кстати,для запоминания "правильных" модусов человечество придума-
ло мнемонику,которая облегчает распознавание 19 сильных и 5 слабых
достоверных форм.Первые три гласные в каждом слове представляют модус:
1.BARBARA,CELARENT,DARII,FERIOQUE = AAA,EAE,AII,EIO.
2.CESARE,CAMESTRES,FESTINO,BAROCO = EAE,AEE,EIO,AOO.
3.DARAPTI,DISAMIS,DATISI,FELAPTON,BOCARDO,FERISON =
AAI,IAI,AII,EAO,OAO,EIO.
4.BRAMANTIP,CAMENES,DIMARIS,FESAPO,FRESISON =
AAI,AEE,IAI,EAO,EIO.
Мнемоника современного образца[20] выглядит проще и осмысленнее:
1.Четыре девочки:BARBARA,BERNADETTE,HERMIONE,LAVINIA.
2.Встретили 4-х мальчиков:ALPHONSO,ELIOTT,GERVASE,LAVRENCE.
3.Они посетили 6 мест:ATLANTIC,PACIFIC,EQUATOR,ETHIOPIA,
MIAMI,MONACO.
4.Там они видели пятерых знаменитостей:CLARENCE,
MELCHIOR,ISAIAH,MALACHI,MELANCTHON.
Однако не следует забывать,что большинство этих модусов не имеет
никакого отношения к логике здравого смысла.
Домашнее задание.
1.Проверить все "правильные" Аристотелевы модусы на основе русс-
кого базиса.
2.Найти заключения для AxmImy',EmxIm'y,AmxIm'y',Am'xIxy.