Непосредственные умозаключения
ЛЕКЦИЯ 7
Непосредственные умозаключения
Правила дедуктивного(от общего к частному) вывода определяются
характером посылок,которые могут быть простыми(категорическими) или
сложными суждениями.В зависимости от количества посылок дедуктивные
выводы из категорических суждений делятся на непосредственные,в кото-
рых заключение выводится из одной посылки,и опосредствованные,в кото-
рых заключение выводится из двух посылок[8].
Непосредственные умозаключения делятся на следующие типы:превра-
щение,обращение,противопоставление предикату и умозаключение по логи-
ческому квадрату.Попробуем формально обосновать логические правила для
вышеназванных типов.Во всех доказательствах используется русский ба-
зис.Дедуктивные выводы выполняются на основе импликации.
1.Превращение
1.1.Общеутвердительное суждение (А) превращается в общеот-
рицательное (E).
---------------¬
Все S суть P ¦ ---------+
______________________ ¦ P ¦ S ¦
Ни одно S не есть не-P ¦ ¦ ¦
Asp -> Esp' = sp'+s'+p = 1 L-----+---------
Данное выражение является тождеством.Следовательно,закон превра-
щения выполняется.
1.2.Общеотрицательное суждение (E) превращается в общеутверди-
тельное (A).
Ни одно S не есть P ------¬
___________________ ¦ ¦ -----¬
Все S суть не-P ¦ S ¦ ¦ P ¦
Esp -> Asp' = sp+s'+p' = 1 L------ L-----
Истинность данного закона также не вызывает сомнений.
1.3.Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотри-
цательное (O).
Некоторые S суть P s ----------===========
________________________ p1-----==========------
Некоторые S не суть не-P p2==============-------
Isp -> Osp' = js'p'+js'p <> 1
В русском базисе данный закон не выполняется.Проведем проверку
этого закона в базисе Аристотеля.
Isp -> Osp' = j(s'+p')+sp+i(s'+p') = 1
Следовательно,в базисе Аристотеля закон справедлив.
1.4.Частноотрицательное суждение (O) превращается в частноутвер-
дительное (I).
Некоторые S не суть P
_____________________
Некоторые S суть не-P
Osp -> Isp' = s+p+is'p'+s+p'+is'p = 1
В русском базисе данный закон выполняется,в Аристотелевом - тоже:
Osp -> Isp' = js'p+s+p'+is'p = 1
2.Обращение
2.1.Суждение (A) обращается в (I).
Все (S) суть (P) ------------------¬
__________________ ¦ ¦
Некоторые P суть S ¦ P ---------+
Asp -> Ips = sp'+p+s+ip's' <> 1 ¦ ¦ S ¦
Для Аристотелева базиса имеем: L--------+---------
Asp -> Ips = sp'+js'p+ps+i(p'+s') <> 1
Следовательно,закон некорректен и в этом базисе.
Все S,и только S,суть P
_______________________
Все P суть S
(s=p)->Aps = ps'+p's+p'+s = 1
2.2.Суждение (E) обращается в (E).
Ни одно S не есть P ---------¬ ---------¬
___________________ ¦ S ¦ ¦ P ¦
Ни одно P не есть S ¦ ¦ ¦ ¦
Esp -> Eps = sp+p'+s' = 1 L--------- L---------
Этот закон настолько очевиден,что не было никакой необходимости в
его доказательстве.По этому поводу в народе говорят:"Что в лоб,что по
лбу".
2.3.Суждение (I) обращается в (I).
Некоторые S суть P
__________________ s ----------===========
Некоторые P суть S p1-----==========------
Isp -> Ips = js'p'+p+s+ip's' = 1 p2==============-------
Для Аристотелева базиса этот закон также справедлив в силу сим-
метрии аналитического представления Isp.
3.Противопоставление предикату
3.1.(A) -> (E). ------------------¬
Все S суть P ¦ P -------+
______________________ ¦ ¦ S ¦
Ни одно не-P не есть S L----------+-------
Asp -> Ep's = sp'+(p's)' = sp'+p+s' = 1
3.2.(E) -> (I).
Ни одно S не есть P ----------¬ ----------¬
_____________________ ¦ P ¦ ¦ S ¦
Некоторые не-P суть S ¦ ¦ ¦ ¦
Esp -> Ip's = sp+ p'+s+ips' <> 1 L---------- L----------
В Аристотелевом базисе имеем:
Esp -> Ip's = sp+ p's+i(p+s') <> 1
3.3.(O) -> (I).
Некоторые S не суть P
_____________________
Некоторые не-P суть S
Osp -> Ip's = s+p+is'p'+p'+s+ips' = 1
В Аристотелевом базисе данный закон также справедлив.
Напрашиваются вопросы:"Кому и зачем нужны эти законы,если доказа-
тельства столь элементарны?Зачем их перечислять,а тем более заучи-
вать,если они представляют собой просто упражнения для проверки анали-
тических методов вывода заключений?"
Пример.
Дж.Малпас в книге "Реляционный язык Пролог" приводит задачу,с ко-
торой он не справился.
Все программисты(p) суть логики(l)
----------------------------------
Если некто суть программист(p),то он суть логик(l)
Однако анализ такого рода выполняется элементарно на основании
вышеприведенных соотношений для силлогистических функторов и их отри-
цаний:
Apl
------
p -> l
Apl -> (p -> l) = pl'+p'+l = 1
Полученный результат доказывает истиннность данного умозаключе-
ния.Неплохо вспомнить,что Axy = x'+y = (x->y).Тогда корректность вы-
шеприведенного умозаключения станет тривиальной истиной:Apl->Apl.