Многозначная силлогистика. Базисы силлогистики

                             ЛЕКЦИЯ 6
                             --------


            МНОГОЗНАЧНАЯ СИЛЛОГИСТИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ.

                                    "Читай и слушай для собс-
                               твенного  развлечения рассказы
                               о хитроумных системах,вникай в
                               интересные  вопросы,поставлен-
                               ные  там  со   всей   изощрен-
                               ностью,какой  только может на-
                               делить их  пылкая  фантазия,но
                               смотри  на  все это только как
                               на упражнения для ума и  возв-
                               ращайся  каждый раз к согласию
                               со здравым  смыслом..."
                               (Честерфилд "Письма к сыну")
                                     (1694 - 1773гг.)

                             ПРЕДИСЛОВИЕ.
     Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор  осно-
вополагающего труда  по  математической  логике "Основания математики"
Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство делать выводы" го-
ворил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристоте-
ля это было великое достижение,каким была  Птолемеева  астрономия.Изу-
чать то или другое в наши дни - это смешной аpхаизм".Это заявление
пустозвона:Б.Pассел,как и вся миpовая логика, не доpосли до уpовня pе-
шения пpоблем Аpистотеля.
     Все,о чем далее будет  идти  речь(комплементарная  логика,решение
логических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер-
гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно
мировой  науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти-
ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро-
щает  до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше-
ния логических уравнений.По существу произведена революция в силлогис-
тике.Поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное край-
не критически и обязательно проверять с точки  зрения  здравого  смыс-
ла.Чтобы  не  повторился парадокс теории относительности(ТО),которую в
1998г.  немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с  пь-
едестала(ж."Юный  техник",N5,1998,с.38-43;N6,1998,с.41-45).Они доказа-
ли,что Эйнштейн - нечистоплотный делец от науки:Эренфест в 1909г.  оп-
роверг Эйнштейна,но,получив взятку от последнего в виде должности про-
фессора физики,"забыл" о своем опровержении."Тысячи"  экспериментов  в
защиту ТО оказались фиктивными.Из 5 попыток не было ни одной удачной.С
теорией относительности  были   несогласны   многие   советские   уче-
ные(см.В.А.Ацюковский "Логические  и  экспериментальные  основы теории
относительности" - М.:МПИ,1990г.),в последнее время к ним  присоедини-
лись швейцарские и амеpиканские физики.



              КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ
     Силлогизмом называется  умозаключение,в  котором  из  двух данных
суждений(посылок),связанных     общим(средним)     термином,получается
третье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу-
зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия
среднего термина.Русская народная мудрость очень точно и образно опре-
делила самую суть силлогизма.
     Современная силлогистика  давно  вызывает неудовлетворенность как
своим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18],так и нечет-
костью  описания с точки зрения математической логики.Введение кванто-
ров не разрешило этих проблем.Поэтому предпринимались и предпринимают-
ся  попытки  ревизии  аристотелевой  силлогистики.Особенно интересны и
перспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза  силлогиз-
мов работы русских ученых[9,18].
     Для выражения любого умозаключения или  посылки  достаточно  двух
конструкций(в скобках представлена краткая форма записи суждений) :
     1)Все X суть Y(Axy);
     2)Некоторые X суть Y(Ixy);
     Однако традиционно в логике используются 4 базовых  суждения(сил-
логистических функтора):
     1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор;
     2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор;
     3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор;
     4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор.
     Из кругов  Эйлера  на основе методов минимизации логических функ-
ций[15] тривиально получены следующие соотношения:
     Axy = (xy')' = x'+y
     Exy = (xy)'= x'+y'
     Здесь и далее апостроф означает отрицание.
     Эти соотношения впервые выведены П.С.Порецким[17](правда,традици-
онная логика об этом до сих пор не догадывается)на основе  рекурсии,но
они  нигде  не фигурируют и не применяются для анализа и синтеза силл-
гизмов.Физический смысл функторов Аху и Еху ни у кого не вызывают сом-
нений.Что  касается суждений Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуа-
ция.Здравый смысл и булева алгебра утверждают,что  Oxy  =  (Ixy)',а  в
традиционной логике[8] Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесс-
порно и не убедительно.Однако примем  на  веру  эти  формулы,поскольку
именно их рекомендуют для запоминания студентам.
     На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy,Oxy:
     Ixy = (Exy)' = xy
     Oxy = (Axy)' = xy'
     Прежде всего эти соотношения противоречат друг другу.По определе-
нию  "Некоторые  Х  суть  Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверс-
ны,т.е. Ixy = (Oxy)',Oxy = (Ixy)'.А из последней формулы следует экви-
валентность  суждений  "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-
Y",что совсем не соответствует действительности.Кроме того частноотри-
цательное  суждение  вообще не имеет самостоятельного смысла,поскольку
является тривиальным  отрицанием  частноутвердительного  высказывания.
     Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов
EIO 1-й - 4-й фигур,EAO,OAO 3-й фигуры  и  AAI,EAO  4-й  фигуры  также
подтвердила  всю несостоятельность указанных соотношений.Аналитический
метод контроля силлогизмов дал такие же результаты.
     Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась еще
русским логиком Васильевым Н.А.[6]:"...частное  суждение  представляет
для  логики  значительные трудности,употребление его полно двусмыслен-
ности".
     Попытаемся прояснить  содержательный  смысл соотношения Ixy.Круги
Эйлера не в состоянии отобразить все нюансы такого  суждения.Поскольку
логические аргументы представляют из себя  скаляры,максимальная  длина
которых   не   может   превышать   "полной   единицы"(универсума),т.е.
x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера.
     "Бытовой" логике,вероятно,более  всего  соответствует   следующая
скалярная диаграмма.
                               x'        x
                          ----------===========
                                y         y'
                        a)==============-------
                            y'     y       y'
                        b)-----==========------
     Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересе-
чения множеств  X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересече-
ния.Поскольку на наборе 00 функция z=f(x,y) может  принимать  значения
как  0,так  и  1,то  ей присваиваем значение возможности существования
i,т.е.значение "может быть".Значение "не может быть" является  отрица-
нием для "может быть",поэтому естественно выразить его через i'=j.Зна-
чениям "да" и "нет" соответствуют 1 и 0.Такая  вновь  введенная  четы-
рехзначная  комплементарная(взаимодополняющая,взаимоинверсная)  логика
адекватно отображает логику человеческого мышления и описывается  сле-
дующими базовыми функциями:

     -----T---T-----T-----T----T---T-----T-----¬
     ¦    ¦ _ ¦     ¦     ¦    ¦ _ ¦     ¦     ¦
     ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦
     ¦    ¦   ¦     ¦     ¦    ¦   ¦     ¦     ¦
     +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
     ¦ 00 ¦ 1 ¦  0  ¦  0  ¦ i0 ¦ j ¦  0  ¦  i  ¦
     ¦ 0j ¦ 1 ¦  0  ¦  j  ¦ ij ¦ j ¦  0  ¦  1  ¦
     ¦ 0i ¦ 1 ¦  0  ¦  i  ¦ ii ¦ j ¦  i  ¦  i  ¦
     ¦ 01 ¦ 1 ¦  0  ¦  1  ¦ i1 ¦ j ¦  i  ¦  1  ¦
     +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
     ¦ j0 ¦ i ¦  0  ¦  j  ¦ 10 ¦ 0 ¦  0  ¦  1  ¦
     ¦ jj ¦ i ¦  j  ¦  j  ¦ 1j ¦ 0 ¦  j  ¦  1  ¦
     ¦ ji ¦ i ¦  0  ¦  1  ¦ 1i ¦ 0 ¦  i  ¦  1  ¦
     ¦ j1 ¦ i ¦  j  ¦  1  ¦ 11 ¦ 0 ¦  1  ¦  1  ¦
     L----+---+-----+-----¦----+---+-----+------
     Общее количество функций n от m переменных в b-значной логике оп-
ределяется по формуле n = b^(b^m),поэтому в комплементарной логике для
двух переменных получим n = 4^(4^2) = 4^16 = 2^32.
     На комплементарную логику  распространяются  все  законы  обычной
двоичной  логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри-
цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от  ми-
нимизации  в  двузначной логике[12].
     С аристотелевским определением частного суждения Ixy не  согласны
многие  логики.В работе [6] автор утверждает,что "научное употребление
слова "некоторые"  совпадает  с  общеразговорным",т.е.  с бытовым,а не
аристотелевским.Кроме того,Васильев Н.А.  абсолютно  правильно  счита-
ет,что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением.Он также заявляет:"В
математике так называемые частные суждения сводятся ...  к общим,и она
прекрасно  обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "не-
которые".К этому же должна стремиться и всякая наука...Частное  сужде-
ние  нужно  рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего сужде-
ния,а как особый вполне самостоятельный вид суждения,вполне  координи-
рованный  с  общими  суждениями,исключающий  их и исключаемый любым из
них".С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.



                       Базис силлогистики

     Под базисом  силлогистики  будем  понимать  всевозможные варианты
представления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy  получается  автомати-
чески из Ixy,поскольку является его отрицанием.

                        Все x суть y(Axy).

     1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр-
ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности.



               x         x'
          ===========----------           -----T---¬
                y         y'              ¦ xy ¦Axy¦
          ==============-------           +----+---+
                                          ¦ 00 ¦ 1 ¦
                                          ¦ 01 ¦ 1 ¦
                                          ¦ 10 ¦ 0 ¦
                                          ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                          L----+----
      По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:

     Axy = (xy')' = x'+y
     (Axy)' = xy'
     Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на  базе
рекурсии  великий  русский  логик  П.С.Порецкий при решении логических
уравнений.Здесь же необходимо вновь обратиться к уточнению смысла имп-
ликации.Дело  в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следует,что,если х
- истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у".

     2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто-
рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме.



                 x'        x                 -----T---¬
            ----------===========            ¦ xy ¦Axy¦
              y'        y                    +----+---+
          a)-----================            ¦ 00 ¦ i ¦
                     y                       ¦ 01 ¦ 1 ¦
          b)=====================            ¦ 10 ¦ 0 ¦
                                             ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                             L----+----

     Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрирована
следующим  высказыванием:"Все  люди смертны".Это справедливо при усло-
вии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно.
     С учетом вышеизложенного выражение для  функции  Axy  примет
вид:
     Axy = y+ix'y'
     (Axy)' = xy'+jx'y'

     3.Третий вариант суждения Axy изображен на  нижеприведенных  ска-
лярных  диаграммах.По  сравнению  со  вторым вариантом здесь добавлено
суждение "x эквивалентно y".
             x'        x
        ----------===========             -----T---¬
          y'        y                     ¦ xy ¦Axy¦
      a)-----================             +----+---+
                y                         ¦ 00 ¦ i ¦
      b)=====================             ¦ 01 ¦ i ¦
          y'        y                     ¦ 10 ¦ 0 ¦
      c)----------===========             ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                          L----+----

     Для ситуации  "c" справедливо высказывание "Все люди владеют сло-
вом".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди"  и  "говорящие
живые существа" эквивалентны.Из табл.3 получаем следующее соотношение:
     Axy = xy+ix'
     (Axy)' = xy'+jx'

     Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но в
силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации  аргумен-
тов не являются решающими.
                    Ни один x не есть y(Exy).
     1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграм-
мах.
          x         x'
     ===========----------         -----T---¬
           y'        y             ¦ xy ¦Exy¦
     -------------========         +----+---+
                                   ¦ 00 ¦ 1 ¦
                                   ¦ 01 ¦ 1 ¦
                                   ¦ 10 ¦ 1 ¦
                                   ¦ 11 ¦ 0 ¦
                                   L----+----
     Из таблицы истинности имеем:

     Exy = (xy)'
     (Exy)' = xy
     Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел  русский
ученый П.С.Порецкий при решении логических уравнений.

     2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.

               x'        x
          ----------===========      -----T---¬
            y         y'             ¦ xy ¦Exy¦
        a)======---------------      +----+---+
               y         y'          ¦ 00 ¦ i ¦
        b)==========-----------      ¦ 01 ¦ 1 ¦
                                     ¦ 10 ¦ 1 ¦
                                     ¦ 11 ¦ 0 ¦
                                     L----+----


     Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой
не есть мертвый".
     Из таблицы истинности имеем:
     Exy = x'y+xy'+ix'y'
     (Exy)' = xy+jx'y'

     3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах.

               x'        x
          ----------===========      -----T---¬
            y         y'             ¦ xy ¦Exy¦
        a)======---------------      +----+---+
               y         y'          ¦ 00 ¦ i ¦
        b)===========----------      ¦ 01 ¦ i ¦
                   y'                ¦ 10 ¦ 1 ¦
        c)---------------------      ¦ 11 ¦ 0 ¦
                                     L----+----
     Высказывание "Ни  один человек не бессмертен" иллюстрирует ситуа-
цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных  существ
не бывает.
     Из таблицы выводим соотношение:
     Exy = xy'+ix'
     (Exy)' = xy+jx'

                       Некоторые x суть y.

     Лобачевский Н.И.  создал "воображаемую геометрию".По образу и по-
добию  великого  русского  геометра не менее великий русский логик Ва-
сильев Н.А.  разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобраться
хотя  бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж-
дению Ixy уделено недостаточное внимание.
     1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

                x
       ================-----            -----T---¬
             y         y'               ¦ xy ¦Ixy¦
     a)==============-------            +----+---+
               y          y'            ¦ 00 ¦ 1 ¦
     b)==================---            ¦ 01 ¦ i ¦
           y'       y     y'            ¦ 10 ¦ i ¦
     c)--------==========---            ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----
     Из таблицы истинности получим соотношение:
     Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)
     (Ixy)' = j(xy'+x'y)

     2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

            x'        x
       ----------===========            -----T---¬
         y'     y       y'              ¦ xy ¦Ixy¦
     a)-----==========------            +----+---+
              y        y'               ¦ 00 ¦ i ¦
     b)==============-------            ¦ 01 ¦ 1 ¦
                                        ¦ 10 ¦ 1 ¦
                                        ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----
      Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторые
молодые люди - студенты".Здесь универсум - люди.
     Для иллюстрации второй ситуации подходит такой  пример:"Некоторые
млекопитающие не  умеют  говорить".Универсум  - существа.Если в первом
случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто-
ром -  млекопитающие  и  неговорящие  существа дополняют друг друга до
универсума.
     Из таблицы получим соотношение:
     Ixy = x+y+ix'y'
     (Ixy)' = jx'y'
     Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует-
ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление.
     3.Третий вариант  суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба-
зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая  комби-
нация понятий  x,y,лишь  бы  пересечение  этих  понятий  не  было пус-
тым.Аристотелевой трактовке этого  суждения  соответствуют  приводимые
ниже скалярные диаграммы.


             x'        x
        ----------===========           -----T---¬
              y         y'              ¦ xy ¦Ixy¦
      a)==============-------           +----+---+
          y'     y       y'             ¦ 00 ¦ i ¦
      b)-----==========------           ¦ 01 ¦ i ¦
          y'        y                   ¦ 10 ¦ i ¦
      c)-----================           ¦ 11 ¦ 1 ¦
              y'        y               L----+----
      d)-------------========


     Из таблицы получим соотношение:
     Ixy = xy+i(x'+y')
     (Ixy)' = j(x'+y')
     4.Рассмотрим четветый  вариант  суждения  Ixy.Этот  базис получил
название несимметричного.
            x'        x
       ----------===========            -----T---¬
             y'        y                ¦ xy ¦Ixy¦
     a)-------------========            +----+---+
         y'     y       y'              ¦ 00 ¦ 1 ¦
     b)-----==========------            ¦ 01 ¦ i ¦
                                        ¦ 10 ¦ 1 ¦
                                        ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----
     Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется  высказыванием  "Некоторые
юристы(x)  -  выпускники  юридических вузов(y)"(не-юристов юридические
вузы не выпускают).
     Из таблицы получим соотношение:
     Ixy = x+y'+ix'y
     (Ixy)' = jx'y
     5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
            x'        x
       ----------===========            -----T---¬
             y'        y                ¦ xy ¦Ixy¦
     a)-------------========            +----+---+
         y'     y       y'              ¦ 00 ¦ i ¦
     b)-----==========------            ¦ 01 ¦ i ¦
              y        y'               ¦ 10 ¦ 1 ¦
     c)==============-------            ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----
     Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется  высказыванием  "Некоторые
люди(x)  суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари-
вают).Универсум - "живые существа".
     Из таблицы истинности получим соотношение:
     Ixy = x+ix'
     (Ixy)' = jx'

     6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

            x'        x
       ----------===========            -----T---¬
              y        y'               ¦ xy ¦Ixy¦
       ==============-------            +----+---+
                                        ¦ 00 ¦ 0 ¦
                                        ¦ 01 ¦ 1 ¦
                                        ¦ 10 ¦ 1 ¦
                                        ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----
     Из таблицы получим соотношение:
     Ixy = x+y
     (Ixy)' = x'y'
     7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:
     x =======--------                  -----T---¬
     y1----=====------                  ¦ xy ¦Ixy¦
     y2=========------                  +----+---+
     y3---============                  ¦ 00 ¦ i ¦
                                        ¦ 01 ¦ 1 ¦
     Ixy = y+iy'                        ¦ 10 ¦ i ¦
     Oxy = jy'                          ¦ 11 ¦ 1 ¦
                                        L----+----

     Безусловно здесь  приведены не все возможные варианты представле-
ния силлогистических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот спи-
сок.
     В работе Васильева Н.А. утверждается,что в общеразговорном базисе
из Ixy обязательно следует Ixy',т.е. Ixy -> Ixy'.Попытаемся решить это
логическое  уравнение  с  целью  синтеза суждения Ixy,удовлетворяющего
критерию Васильева.
     В результате решения были получены следующие соотношения:
     1)Ixy = x
     2)Ixy = x+y+x'y' = 1
     3)Ixy = x+ix'
     Первое уравнение не является представлением функтора Ixy,посколь-
ку в нем отсутствует вероятностная составляющая;второе уравнение соот-
ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету),а третье  уравне-
ние  -  пятому базису.Общеразговорный базис(базис Васильева) изображен
на рисунке.Необходимо  отметить,что  русский  и общеразговорный базисы
являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.

            x'        x
       ----------===========
         y'     y       y'
       -----==========------

     Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конк-
ретного   силлогизма.
     Для указания используемого базиса применяется нумерация,состоящая
из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy.Например,для анализа  сил-
логизмов  в  общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис
1-1-2,который описывается следующими соотношениями:
     Axy = (xy')'
     Exy = (xy)'
     Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i
     Этот базис назван автором русским базисом,т.к.  он  удовлетворяет
некоторым требованиям русского логика Васильева Н.А.  относительно на-
учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.Вполне
естественно,что  силлогистика,основанная на русском базисе,должна быть
названа русской силлогистикой.Необходимо отметить,что русский и  обще-
разговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.
     Кстати говоря,так  называемые  "жергонновы  отношения"[19]  могут
быть представлены следующими скалярными диаграммами.

          x         x'                 x'        x
     ===========----------        ----------===========
           y         y'                 y         y'
     ==============-------        ==============-------
           y         y'             y'     y       y'
     ===========----------        -----==========------
              Axy                   y'        y
                                  -----================
          x         x'                  y'        y
     ===========----------        -------------========
           y'        y                      Ixy
     -------------========
             Exy                       x'        x
                                  ----------===========
                                        y         y'
                                  ============---------
                                    y'     y       y'
                                  -----==========------
                                        y'        y
                                  ------------=========
                                            Oxy
     -----T------¬  -----T------¬ -----T------¬  -----T------¬
     ¦ xy ¦ Axy  ¦  ¦ xy ¦ Exy  ¦ ¦ xy ¦ Ixy  ¦  ¦ xy ¦ Oxy  ¦
     +----+------+  +----+------+ +----+------+  +----+------+
     ¦ 00 ¦  1   ¦  ¦ 00 ¦  1   ¦ ¦ 00 ¦  i   ¦  ¦ 00 ¦  i   ¦
     ¦ 01 ¦  i   ¦  ¦ 01 ¦  1   ¦ ¦ 01 ¦  i   ¦  ¦ 01 ¦  i   ¦
     ¦ 10 ¦  0   ¦  ¦ 10 ¦  1   ¦ ¦ 10 ¦  i   ¦  ¦ 10 ¦  1   ¦
     ¦ 11 ¦  1   ¦  ¦ 11 ¦  0   ¦ ¦ 11 ¦  1   ¦  ¦ 11 ¦  i   ¦
     L----+-------  L----+------- L----+-------  L----+-------

     На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности,по кото-
рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна.
     Axy = xy+x'y'+ix'y
     Exy = (xy)'
     Ixy = xy+i(x'+y')
     Oxy = xy'+i(x'+y)
     Утверждать,что этот базис отражает общеразговорную логику,было бы
опрометчиво.
     Полученные соотношения  позволяот построить логику без кванторов,
префикс-дизъюнктов и префикс-конъюнктов[5].С помощью  базисных  формул
можно  выполнять все операции над силлогизмами,т.е.  находить аналити-
ческое решение задач,связанных с силлогизмами.  Для того,чтобы  прове-
рить заключение,нужно выполнить алгоритм "Осташ".
Hosted by uCoz