Многозначная силлогистика. Базисы силлогистики
ЛЕКЦИЯ 6 -------- МНОГОЗНАЧНАЯ СИЛЛОГИСТИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ. "Читай и слушай для собс- твенного развлечения рассказы о хитроумных системах,вникай в интересные вопросы,поставлен- ные там со всей изощрен- ностью,какой только может на- делить их пылкая фантазия,но смотри на все это только как на упражнения для ума и возв- ращайся каждый раз к согласию со здравым смыслом..." (Честерфилд "Письма к сыну") (1694 - 1773гг.) ПРЕДИСЛОВИЕ. Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор осно- вополагающего труда по математической логике "Основания математики" Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство делать выводы" го- ворил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристоте- ля это было великое достижение,каким была Птолемеева астрономия.Изу- чать то или другое в наши дни - это смешной аpхаизм".Это заявление пустозвона:Б.Pассел,как и вся миpовая логика, не доpосли до уpовня pе- шения пpоблем Аpистотеля. Все,о чем далее будет идти речь(комплементарная логика,решение логических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер- гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно мировой науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти- ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро- щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше- ния логических уравнений.По существу произведена революция в силлогис- тике.Поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное край- не критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смыс- ла.Чтобы не повторился парадокс теории относительности(ТО),которую в 1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с пь- едестала(ж."Юный техник",N5,1998,с.38-43;N6,1998,с.41-45).Они доказа- ли,что Эйнштейн - нечистоплотный делец от науки:Эренфест в 1909г. оп- роверг Эйнштейна,но,получив взятку от последнего в виде должности про- фессора физики,"забыл" о своем опровержении."Тысячи" экспериментов в защиту ТО оказались фиктивными.Из 5 попыток не было ни одной удачной.С теорией относительности были несогласны многие советские уче- ные(см.В.А.Ацюковский "Логические и экспериментальные основы теории относительности" - М.:МПИ,1990г.),в последнее время к ним присоедини- лись швейцарские и амеpиканские физики. КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ Силлогизмом называется умозаключение,в котором из двух данных суждений(посылок),связанных общим(средним) термином,получается третье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу- зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия среднего термина.Русская народная мудрость очень точно и образно опре- делила самую суть силлогизма. Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как своим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18],так и нечет- костью описания с точки зрения математической логики.Введение кванто- ров не разрешило этих проблем.Поэтому предпринимались и предпринимают- ся попытки ревизии аристотелевой силлогистики.Особенно интересны и перспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогиз- мов работы русских ученых[9,18]. Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двух конструкций(в скобках представлена краткая форма записи суждений) : 1)Все X суть Y(Axy); 2)Некоторые X суть Y(Ixy); Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил- логистических функтора): 1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор; 2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор; 3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор; 4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор. Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ- ций[15] тривиально получены следующие соотношения: Axy = (xy')' = x'+y Exy = (xy)'= x'+y' Здесь и далее апостроф означает отрицание. Эти соотношения впервые выведены П.С.Порецким[17](правда,традици- онная логика об этом до сих пор не догадывается)на основе рекурсии,но они нигде не фигурируют и не применяются для анализа и синтеза силл- гизмов.Физический смысл функторов Аху и Еху ни у кого не вызывают сом- нений.Что касается суждений Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуа- ция.Здравый смысл и булева алгебра утверждают,что Oxy = (Ixy)',а в традиционной логике[8] Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесс- порно и не убедительно.Однако примем на веру эти формулы,поскольку именно их рекомендуют для запоминания студентам. На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy,Oxy: Ixy = (Exy)' = xy Oxy = (Axy)' = xy' Прежде всего эти соотношения противоречат друг другу.По определе- нию "Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверс- ны,т.е. Ixy = (Oxy)',Oxy = (Ixy)'.А из последней формулы следует экви- валентность суждений "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не- Y",что совсем не соответствует действительности.Кроме того частноотри- цательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла,поскольку является тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания. Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов EIO 1-й - 4-й фигур,EAO,OAO 3-й фигуры и AAI,EAO 4-й фигуры также подтвердила всю несостоятельность указанных соотношений.Аналитический метод контроля силлогизмов дал такие же результаты. Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась еще русским логиком Васильевым Н.А.[6]:"...частное суждение представляет для логики значительные трудности,употребление его полно двусмыслен- ности". Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения Ixy.Круги Эйлера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения.Поскольку логические аргументы представляют из себя скаляры,максимальная длина которых не может превышать "полной единицы"(универсума),т.е. x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. "Бытовой" логике,вероятно,более всего соответствует следующая скалярная диаграмма. x' x ----------=========== y y' a)==============------- y' y y' b)-----==========------ Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересе- чения множеств X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересече- ния.Поскольку на наборе 00 функция z=f(x,y) может принимать значения как 0,так и 1,то ей присваиваем значение возможности существования i,т.е.значение "может быть".Значение "не может быть" является отрица- нием для "может быть",поэтому естественно выразить его через i'=j.Зна- чениям "да" и "нет" соответствуют 1 и 0.Такая вновь введенная четы- рехзначная комплементарная(взаимодополняющая,взаимоинверсная) логика адекватно отображает логику человеческого мышления и описывается сле- дующими базовыми функциями: -----T---T-----T-----T----T---T-----T-----¬ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i0 ¦ j ¦ 0 ¦ i ¦ ¦ 0j ¦ 1 ¦ 0 ¦ j ¦ ij ¦ j ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ 0i ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ ii ¦ j ¦ i ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ i1 ¦ j ¦ i ¦ 1 ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ j0 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ jj ¦ i ¦ j ¦ j ¦ 1j ¦ 0 ¦ j ¦ 1 ¦ ¦ ji ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1i ¦ 0 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ j1 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ L----+---+-----+-----¦----+---+-----+------ Общее количество функций n от m переменных в b-значной логике оп- ределяется по формуле n = b^(b^m),поэтому в комплементарной логике для двух переменных получим n = 4^(4^2) = 4^16 = 2^32. На комплементарную логику распространяются все законы обычной двоичной логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри- цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми- нимизации в двузначной логике[12]. С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны многие логики.В работе [6] автор утверждает,что "научное употребление слова "некоторые" совпадает с общеразговорным",т.е. с бытовым,а не аристотелевским.Кроме того,Васильев Н.А. абсолютно правильно счита- ет,что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением.Он также заявляет:"В математике так называемые частные суждения сводятся ... к общим,и она прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "не- которые".К этому же должна стремиться и всякая наука...Частное сужде- ние нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего сужде- ния,а как особый вполне самостоятельный вид суждения,вполне координи- рованный с общими суждениями,исключающий их и исключаемый любым из них".С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться. Базис силлогистики Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты представления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy получается автомати- чески из Ixy,поскольку является его отрицанием. Все x суть y(Axy). 1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр- ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности. x x' ===========---------- -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Axy¦ ==============------- +----+---+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy: Axy = (xy')' = x'+y (Axy)' = xy' Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на базе рекурсии великий русский логик П.С.Порецкий при решении логических уравнений.Здесь же необходимо вновь обратиться к уточнению смысла имп- ликации.Дело в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следует,что,если х - истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у". 2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто- рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме. x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Axy¦ y' y +----+---+ a)-----================ ¦ 00 ¦ i ¦ y ¦ 01 ¦ 1 ¦ b)===================== ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрирована следующим высказыванием:"Все люди смертны".Это справедливо при усло- вии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно. С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет вид: Axy = y+ix'y' (Axy)' = xy'+jx'y' 3.Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска- лярных диаграммах.По сравнению со вторым вариантом здесь добавлено суждение "x эквивалентно y". x' x ----------=========== -----T---¬ y' y ¦ xy ¦Axy¦ a)-----================ +----+---+ y ¦ 00 ¦ i ¦ b)===================== ¦ 01 ¦ i ¦ y' y ¦ 10 ¦ 0 ¦ c)----------=========== ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди владеют сло- вом".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди" и "говорящие живые существа" эквивалентны.Из табл.3 получаем следующее соотношение: Axy = xy+ix' (Axy)' = xy'+jx' Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но в силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен- тов не являются решающими. Ни один x не есть y(Exy). 1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграм- мах. x x' ===========---------- -----T---¬ y' y ¦ xy ¦Exy¦ -------------======== +----+---+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ L----+---- Из таблицы истинности имеем: Exy = (xy)' (Exy)' = xy Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русский ученый П.С.Порецкий при решении логических уравнений. 2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке. x' x ----------=========== -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Exy¦ a)======--------------- +----+---+ y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)==========----------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ L----+---- Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой не есть мертвый". Из таблицы истинности имеем: Exy = x'y+xy'+ix'y' (Exy)' = xy+jx'y' 3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах. x' x ----------=========== -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Exy¦ a)======--------------- +----+---+ y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)===========---------- ¦ 01 ¦ i ¦ y' ¦ 10 ¦ 1 ¦ c)--------------------- ¦ 11 ¦ 0 ¦ L----+---- Высказывание "Ни один человек не бессмертен" иллюстрирует ситуа- цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных существ не бывает. Из таблицы выводим соотношение: Exy = xy'+ix' (Exy)' = xy+jx' Некоторые x суть y. Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию".По образу и по- добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва- сильев Н.А. разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж- дению Ixy уделено недостаточное внимание. 1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x ================----- -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Ixy¦ a)==============------- +----+---+ y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦ b)==================--- ¦ 01 ¦ i ¦ y' y y' ¦ 10 ¦ i ¦ c)--------==========--- ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) (Ixy)' = j(xy'+x'y) 2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x' x ----------=========== -----T---¬ y' y y' ¦ xy ¦Ixy¦ a)-----==========------ +----+---+ y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)==============------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторые молодые люди - студенты".Здесь универсум - люди. Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример:"Некоторые млекопитающие не умеют говорить".Универсум - существа.Если в первом случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто- ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга до универсума. Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y+ix'y' (Ixy)' = jx'y' Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует- ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление. 3.Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба- зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби- нация понятий x,y,лишь бы пересечение этих понятий не было пус- тым.Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимые ниже скалярные диаграммы. x' x ----------=========== -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Ixy¦ a)==============------- +----+---+ y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦ y' y ¦ 10 ¦ i ¦ c)-----================ ¦ 11 ¦ 1 ¦ y' y L----+---- d)-------------======== Из таблицы получим соотношение: Ixy = xy+i(x'+y') (Ixy)' = j(x'+y') 4.Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy.Этот базис получил название несимметричного. x' x ----------=========== -----T---¬ y' y ¦ xy ¦Ixy¦ a)-------------======== +----+---+ y' y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦ b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические вузы не выпускают). Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y'+ix'y (Ixy)' = jx'y 5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x' x ----------=========== -----T---¬ y' y ¦ xy ¦Ixy¦ a)-------------======== +----+---+ y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦ y y' ¦ 10 ¦ 1 ¦ c)==============------- ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые люди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари- вают).Универсум - "живые существа". Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = x+ix' (Ixy)' = jx' 6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x' x ----------=========== -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Ixy¦ ==============------- +----+---+ ¦ 00 ¦ 0 ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y (Ixy)' = x'y' 7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так: x =======-------- -----T---¬ y1----=====------ ¦ xy ¦Ixy¦ y2=========------ +----+---+ y3---============ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ Ixy = y+iy' ¦ 10 ¦ i ¦ Oxy = jy' ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---- Безусловно здесь приведены не все возможные варианты представле- ния силлогистических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот спи- сок. В работе Васильева Н.А. утверждается,что в общеразговорном базисе из Ixy обязательно следует Ixy',т.е. Ixy -> Ixy'.Попытаемся решить это логическое уравнение с целью синтеза суждения Ixy,удовлетворяющего критерию Васильева. В результате решения были получены следующие соотношения: 1)Ixy = x 2)Ixy = x+y+x'y' = 1 3)Ixy = x+ix' Первое уравнение не является представлением функтора Ixy,посколь- ку в нем отсутствует вероятностная составляющая;второе уравнение соот- ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету),а третье уравне- ние - пятому базису.Общеразговорный базис(базис Васильева) изображен на рисунке.Необходимо отметить,что русский и общеразговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx. x' x ----------=========== y' y y' -----==========------ Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конк- ретного силлогизма. Для указания используемого базиса применяется нумерация,состоящая из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy.Например,для анализа сил- логизмов в общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис 1-1-2,который описывается следующими соотношениями: Axy = (xy')' Exy = (xy)' Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i Этот базис назван автором русским базисом,т.к. он удовлетворяет некоторым требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно на- учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.Вполне естественно,что силлогистика,основанная на русском базисе,должна быть названа русской силлогистикой.Необходимо отметить,что русский и обще- разговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx. Кстати говоря,так называемые "жергонновы отношения"[19] могут быть представлены следующими скалярными диаграммами. x x' x' x ===========---------- ----------=========== y y' y y' ==============------- ==============------- y y' y' y y' ===========---------- -----==========------ Axy y' y -----================ x x' y' y ===========---------- -------------======== y' y Ixy -------------======== Exy x' x ----------=========== y y' ============--------- y' y y' -----==========------ y' y ------------========= Oxy -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ ¦ xy ¦ Axy ¦ ¦ xy ¦ Exy ¦ ¦ xy ¦ Ixy ¦ ¦ xy ¦ Oxy ¦ +----+------+ +----+------+ +----+------+ +----+------+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L----+------- L----+------- L----+------- L----+------- На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности,по кото- рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна. Axy = xy+x'y'+ix'y Exy = (xy)' Ixy = xy+i(x'+y') Oxy = xy'+i(x'+y) Утверждать,что этот базис отражает общеразговорную логику,было бы опрометчиво. Полученные соотношения позволяот построить логику без кванторов, префикс-дизъюнктов и префикс-конъюнктов[5].С помощью базисных формул можно выполнять все операции над силлогизмами,т.е. находить аналити- ческое решение задач,связанных с силлогизмами. Для того,чтобы прове- рить заключение,нужно выполнить алгоритм "Осташ".