Понятие. Основные законы логики суждений.
ЛЕКЦИЯ 5 -------- Понятие. Понятие - это форма мышления,отражающая предметы в их существен- ных признаках[8]. Признаком предмета называется то,в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются.Понятие - это мысленное содержание слова,а слово - это метка мысли. Автомобиль - транспортное средство,имеющее двигатель,кузов,колеса и устройство управления. Это содержание понятия, а его объемом являют- ся все существующие в мире автомобили. Универсум - мир как целое.Такая философская трактовка некорректна. Основные законы логики суждений. Все законы логики предложений выводятся формальными методами.Имп- ликация при этом играет главную роль.Рассмотрим эту логическую функ- цию,заданную таблицей истинности(табл.1). Табл.1 ------T-------¬ ¦ p q ¦ p->q ¦ +-----+-------+ ¦ 0 0 ¦ 1 ¦ ¦ 0 1 ¦ 1 ¦ ¦ 1 0 ¦ 0 ¦ ¦ 1 1 ¦ 1 ¦ L-----+-------- Из табл.1 p -> q = p' + q,откуда,решая логическое уравнение(с ре- шением логических уравнений мы познакомимся несколько позднее),получим q = p + ip',т.е. если истинно p,то истинно и q,или из истинности p следует истинность q.Здесь и в дальнейшем апостроф означает инверсию аргумента или функции.Пусть p - "Перегорел предохранитель ",а q - "Лампа гаснет".Тогда p->q означает,что "Лампа гаснет,если перегорел предохранитель или возможно погаснет по какой-либо другой причине". В [7] изложены правила и законы логики предложений,но отсутствует аналитическое доказательство этих законов.До сих пор для подтверждения истинности суждений применяется громоздкий табличный метод.Приведем простые аналитические доказательства для всех изложенных в [7] правил и законов.Однако,все операции удобнее было бы проводить графически с помощью карт Карно. Правило отделения p -> q p ______ q Доказательство этого правила предельно просто: (p->q)p -> q = (p'+q)p->q = pq->q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1 Законы логики предложений 1.Закон исключенного третьего p+p' = 1 2.Закон непротиворечивости p(p)' = 0 3.Законы двойного отрицания 3.1.p'' -> p p''->p = p'+p = 1 3.2.p -> p'' p -> p'' = p'+p = 1 4.Закон контрапозиции (p->q) -> (q'->p') (p->q) -> (q'->p') = (p'+q)'+(q+p') = pq'+q+p' = 1 5.Конъюнктивные законы 5.1.pq -> qp pq -> qp = (pq)'+pq = p'+q'+pq = 1 5.2.pq -> p pq -> p = (pq)'+p = p'+q'+p = 1 5.3.pq -> q pq -> q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1 5.4.p -> (q -> pq) p -> (q -> pq) = p'+q'+pq = 1 6.Законы импликативных силлогизмов 6.1.[(p->q)(p->r)] -> (p->qr) [(p->q)(p->r)] -> (p->qr) = [(p'+q)(p'+r)] -> (p'+qr) = (p'+qr)'+p'+qr = 1 6.2.[(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) [(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) = (p->q)'+(r->s)'+(pr)'+qs = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1 6.3.[(p->q)(q->r)] -> (p->r) [(p->q)(q->r)] -> (p->r) = (p->q)'+(q->r)'+p'+r = pq'+qr'+p'+r = 1 6.4.[(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q] [(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q] = (p->q)'+(r->q)'+(p+r)'+q = pq'+rq'+p'r'+q = 1 7.Дизъюнктивные законы 7.1.(p+q) -> (q+p) (p+q) -> (q+p) = p'q'+q+p = 1 7.2.(p+q) -> (p'->q) (p+q) -> (p'->q) = p'q'+p+q = 1 8.Законы,характеризующие эквивалентность 8.1.(p=q) -> (q=p) (p=q) -> (q=p) = pq'+p'q+pq+p'q' = 1 8.2.(p=q) -> (p->q) (p=q) -> (p->q) = pq'+p'q+p'+q = 1 8.3.(p=q) -> (q->p) (p=q) -> (q->p) = pq'+p'q+q'+p = 1 8.4.[(p->q)(q->p)] -> (p=q) [(p->q)(q->p)] -> (p=q) = (p->q)'+(q->p)'+(p=q) = pq'+qp'+pq+p'q' = 1 9.Законы де Моргана 9.1.(p+q)' -> p'q' (p+q)' -> p'q' = p'q'+p+q = 1 9.2.(pq)' -> (p'+q') (pq)' -> (p'+q') = p'+q'+pq = 1 Как видим,доказательство всех законов чрезвычайно просто и пост- роено на чистой математике,для освоения которой достачно знаний на- чальной школы. Упражнения. Проверить истинность следующих формул. 1.(p->q) -> (p'+q) 2.(p->q) ->(q->p) 3.(p'->q) -> (q'->p) 4.(p->q)q' -> p' 5.(pq+q) -> pq 6.[(p->q)+(p->r)] -> [p->(q+r)] 7.[(p->q)->r] ->(q->r) 8.[(p->q)(r->q)] -> (pr->q) 9.(p->q) -> [(r->q) -> (qr->p)] 10.[(p->q) -> (q->r)] -> (p->r) 11.(p->q)(q->r) -> (p->r) 12.(pq')'(qr')' -> (pr')' Две последних формулы соответствуют "неправильному" силлогизму ApqAqr -> Apr.Например: Все студенты(p) - люди(q) Все люди(q) - талантливы(r) ------------------------------- Все студенты(p) - талантливы(r).